差が一定であることから等差数列を示す（B）
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/24
🔁 類題: 差が一定であることから等差数列を示す（A） （★☆☆☆☆☆☆（教科書））
問題
\begin{enumerate}
\item[(1)] 一般項が $a_n=-2n+7$ で表される数列 $\{a_n\}$ は等差数列であることを示し，初項と公差を求めよ．
\item[(2)] 数列 $\{a_n\}$，$\{b_n\}$ がそれぞれ公差 $d$，$e$ の等差数列であるとき，数列 $\{a_n+b_n\}$，$\{a_{3n-1}\}$ はいずれも等差数列であることを示し，それぞれの公差を求めよ．
\end{enumerate}
(1) $a_{n+1}-a_n=\{-2(n+1)+7\}-(-2n+7)=-2$（一定）．よって等差数列で，初項 $a_1=5$，公差 $-2$
(2) $c_n=a_n+b_n$ とおくと $c_{n+1}-c_n=(a_{n+1}-a_n)+(b_{n+1}-b_n)=d+e$（一定）．公差 $d+e$ の等差数列．
$p_n=a_{3n-1}$ とおくと，$a_n=a_1+(n-1)d$ であるから $p_{n+1}-p_n=a_{3n+2}-a_{3n-1}=\{a_1+(3n+1)d\}-\{a_1+(3n-2)d\}=3d$（一定）．公差 $3d$ の等差数列．
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