差が一定であることから等差数列を示す（A）
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/24
🔁 類題: 差が一定であることから等差数列を示す（B） （★☆☆☆☆☆☆（教科書））
問題
\begin{enumerate}
\item[(1)] 一般項が $a_n=3n+2$ で表される数列 $\{a_n\}$ は等差数列であることを示し，初項と公差を求めよ．
\item[(2)] 数列 $\{a_n\}$ が公差 $d$ の等差数列であるとき，数列 $\{a_{2n}\}$，$\{3a_n+1\}$ はいずれも等差数列であることを示し，それぞれの公差を求めよ．
\end{enumerate}
数列 $\{a_n\}$ が等差数列であることは，$a_{n+1}-a_n$ が $n$ によらない一定の値であることと同値である．
(1) $a_{n+1}-a_n=\{3(n+1)+2\}-(3n+2)=3$（一定）．よって等差数列で，初項 $a_1=5$，公差 $3$
(2) $b_n=a_{2n}$ とおくと，$a_n=a_1+(n-1)d$ であるから $b_{n+1}-b_n=a_{2n+2}-a_{2n}=\{a_1+(2n+1)d\}-\{a_1+(2n-1)d\}=2d$（一定）．よって公差 $2d$ の等差数列．
$c_n=3a_n+1$ とおくと $c_{n+1}-c_n=3(a_{n+1}-a_n)=3d$（一定）．よって公差 $3d$ の等差数列．
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