放物線とその弦で囲まれた部分の面積の最大・最小（B）

P における接線の傾きは $2t$ であるから，法線の傾きは $-\dfrac{1}{2t}$．法線の方程式は \[ y=-\frac{1}{2t}(x-t)+t^2 \] これと $y=x^2$ を連立すると \[ x^2+\frac{1}{2t}x-t^2-\frac{1}{2}=0 \] この 2 解は P，Q の $x$ 座標 $t,\ q$ であり，解と係数の関係より $t+q=-\dfrac{1}{2t}$，すなわち $q=-t-\dfrac{1}{2t}$．$t-q=2t+\dfrac{1}{2t}>0$ であるから \[ S(t)=\frac{(t-q)^3}{6}=\frac{1}{6}\left(2t+\frac{1}{2t}\right)^3 \] $t>0$ であるから，相加平均と相乗平均の関係より \[ 2t+\frac{1}{2t}\geqq 2\sqrt{2t\cdot\frac{1}{2t}}=2 \] 等号は $2t=\dfrac{1}{2t}$，すなわち $t=\dfrac{1}{2}$ のとき成り立つ． よって，$t=\dfrac{1}{2}$ のとき最小値 $\dfrac{2^3}{6}=\dfrac{4}{3}$