放物線とその弦で囲まれた部分の面積の最大・最小（A）

A$(\alpha,\ \alpha^2)$，B$(\beta,\ \beta^2)$ $(\alpha<\beta)$ とする．直線 AB の方程式は $y=(\alpha+\beta)x-\alpha\beta$ であり \[ S=\int_\alpha^\beta\{(\alpha+\beta)x-\alpha\beta-x^2\}\,dx=-\int_\alpha^\beta(x-\alpha)(x-\beta)\,dx=\frac{(\beta-\alpha)^3}{6} \] $\mathrm{AB}=2$ より \[ (\beta-\alpha)^2+(\beta^2-\alpha^2)^2=4 \quad\text{すなわち}\quad (\beta-\alpha)^2\{1+(\alpha+\beta)^2\}=4 \] よって $(\beta-\alpha)^2=\dfrac{4}{1+(\alpha+\beta)^2}\leqq 4$ で，$\beta-\alpha\leqq 2$．等号は $\alpha+\beta=0$，すなわち $\alpha=-1,\ \beta=1$ のとき成り立つ． したがって $S\leqq\dfrac{2^3}{6}=\dfrac{4}{3}$ で，最大値は $\dfrac{4}{3}$（A，B が $(\mp 1,\ 1)$ のとき．下図）