絶対値を含む定積分で表された関数の最小値（B）

$0\leqq x\leqq a$ で $x^2-a^2\leqq 0$，$a\leqq x\leqq 2$ で $x^2-a^2\geqq 0$ であるから \[ F(a)=\int_0^a(a^2-x^2)\,dx+\int_a^2(x^2-a^2)\,dx=\frac{2}{3}a^3+\left\{\frac{8}{3}-2a^2-\left(\frac{a^3}{3}-a^3\right)\right\} \] \[ =\frac{4}{3}a^3-2a^2+\frac{8}{3} \] $F'(a)=4a^2-4a=4a(a-1)$ $0<a<2$ において，$F'(a)=0$ とすると $a=1$ $0\leqq a\leqq 2$ における $F(a)$ の増減表は次のようになる． \[ \begin{array}{c|ccccc} a & 0 & \cdots & 1 & \cdots & 2 \\ \hline F'(a) & & - & 0 & + & \\ \hline F(a) & \dfrac{8}{3} & \searrow & 2 & \nearrow & \dfrac{16}{3} \end{array} \] よって $a=1$ のとき最小値 $F(1)=\dfrac{4}{3}-2+\dfrac{8}{3}=2$