絶対値を含む定積分で表された関数の最小値（A）

(i) $t\leqq 0$ のとき，$0\leqq x\leqq 1$ で $x-t\geqq 0$ であるから \[ F(t)=\int_0^1(x-t)\,dx=\frac{1}{2}-t \] (ii) $0<t<1$ のとき \[ F(t)=\int_0^t(t-x)\,dx+\int_t^1(x-t)\,dx=\frac{t^2}{2}+\frac{(1-t)^2}{2}=t^2-t+\frac{1}{2} \] (iii) $t\geqq 1$ のとき，$F(t)=\displaystyle\int_0^1(t-x)\,dx=t-\frac{1}{2}$ (i) では $F(t)=\dfrac{1}{2}-t\geqq\dfrac{1}{2}$，(iii) では $F(t)=t-\dfrac{1}{2}\geqq\dfrac{1}{2}$ である．$y=F(t)$ のグラフは下図のようになり，(ii) で $F(t)=\left(t-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{4}$ であるから，$t=\dfrac{1}{2}$ のとき最小値 $\dfrac{1}{4}$