x軸の上下の面積が等しくなる条件（A）

$0\leqq x\leqq 1$ で $y\geqq 0$，$1\leqq x\leqq a$ で $y\leqq 0$ である．2 つの部分の面積をそれぞれ $S_1,\ S_2$ とすると \[ S_1=\int_0^1 y\,dx,\qquad S_2=-\int_1^a y\,dx \] $S_1=S_2$ は $\displaystyle\int_0^1 y\,dx+\int_1^a y\,dx=0$，すなわち $\displaystyle\int_0^a y\,dx=0$ と同値である（下図）． \[ \int_0^a\{x^3-(1+a)x^2+ax\}\,dx=\frac{a^4}{4}-\frac{(1+a)a^3}{3}+\frac{a^3}{2}=\frac{a^3(2-a)}{12} \] $a>1$ であるから $2-a=0$ より $a=2$