2つの部分の面積の和の最小（B）

$0\leqq x\leqq a$ で $y\leqq 0$，$a\leqq x\leqq 2$ で $y\geqq 0$ であるから（下図） \[ S(a)=\int_0^a(ax-x^2)\,dx+\int_a^2(x^2-ax)\,dx \] ここで \[ \int_0^a(ax-x^2)\,dx=\left[\frac{a}{2}x^2-\frac{x^3}{3}\right]_0^a=\frac{a^3}{6} \] \[ \int_a^2(x^2-ax)\,dx=\left[\frac{x^3}{3}-\frac{a}{2}x^2\right]_a^2=\left(\frac{8}{3}-2a\right)-\left(\frac{a^3}{3}-\frac{a^3}{2}\right)=\frac{8}{3}-2a+\frac{a^3}{6} \] であるから \[ S(a)=\frac{a^3}{3}-2a+\frac{8}{3} \] $S'(a)=a^2-2=(a+\sqrt{2})(a-\sqrt{2})$ $0<a<2$ において，$S'(a)=0$ とすると　$a=\sqrt{2}$ $0<a<2$ における $S(a)$ の増減表は次のようになる． \[ \begin{array}{c|ccccc} a & 0 & \cdots & \sqrt{2} & \cdots & 2 \\ \hline S'(a) & & - & 0 & + & \\ \hline S(a) & & \searrow & \text{極小} & \nearrow & \end{array} \] よって，$S(a)$ は $a=\sqrt{2}$ で最小となり \[ S(\sqrt{2})=\frac{2\sqrt{2}}{3}-2\sqrt{2}+\frac{8}{3}=\frac{8-4\sqrt{2}}{3} \] したがって，$S(a)$ は $a=\sqrt{2}$ のとき最小値 $\dfrac{8-4\sqrt{2}}{3}$ をとる．