2つの部分の面積の和の最小（A）

$0\leqq x\leqq a$ で $y\leqq 0$，$a\leqq x\leqq 1$ で $y\geqq 0$ であるから（下図） \[ S(a)=\int_0^a(ax-x^2)\,dx+\int_a^1(x^2-ax)\,dx=\frac{a^3}{6}+\left\{\left(\frac{1}{3}-\frac{a}{2}\right)-\left(\frac{a^3}{3}-\frac{a^3}{2}\right)\right\}=\frac{a^3}{3}-\frac{a}{2}+\frac{1}{3} \] $S'(a)=a^2-\dfrac{1}{2}=\left(a+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)\left(a-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)$ $0<a<1$ において，$S'(a)=0$ とすると $a=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ $0<a<1$ における $S(a)$ の増減表は次のようになる． \[ \begin{array}{c|ccccc} a & 0 & \cdots & \dfrac{1}{\sqrt{2}} & \cdots & 1 \\ \hline S'(a) & & - & 0 & + & \\ \hline S(a) & & \searrow & \text{極小} & \nearrow & \end{array} \] よって，$S(a)$ は $a=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ で最小となる． \[ S\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2\sqrt{2}}-\frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{3}=\frac{1}{3}-\frac{1}{3\sqrt{2}}=\frac{2-\sqrt{2}}{6} \] したがって，$S(a)$ は $a=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ のとき最小値 $\dfrac{2-\sqrt{2}}{6}$ をとる．