定点を通る直線と放物線で囲まれた面積の最小（B）

直線は $y=m(x-1)+3$．$x^2=m(x-1)+3$ より $x^2-mx+m-3=0$ ……① ① の判別式を $D$ とすると $D=m^2-4m+12=(m-2)^2+8>0$ であるから，直線と放物線は常に 2 点で交わる．① の 2 解を $\alpha<\beta$ とすると，解と係数の関係より $\alpha+\beta=m$，$\alpha\beta=m-3$ であるから \[ \beta-\alpha=\sqrt{(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta}=\sqrt{m^2-4m+12} \] $\alpha\leqq x\leqq\beta$ で直線は放物線の上側にあるから \[ S(m)=\int_\alpha^\beta\{(mx-m+3)-x^2\}\,dx=-\int_\alpha^\beta(x-\alpha)(x-\beta)\,dx=\frac{(\beta-\alpha)^3}{6}=\frac{\{(m-2)^2+8\}^{\frac{3}{2}}}{6} \] $(m-2)^2+8$ は $m=2$ で最小値 $8$ をとるから，$S(m)$ は $m=2$ のとき最小で，最小値は $\dfrac{8^{\frac{3}{2}}}{6}=\dfrac{16\sqrt{2}}{6}=\dfrac{8\sqrt{2}}{3}$