定点を通る直線と放物線で囲まれた面積の最小（A）

直線は $y=m(x-1)+2$．$x^2=mx-m+2$ より $x^2-mx+m-2=0$ ……① ① の判別式は $m^2-4m+8=(m-2)^2+4>0$ であるから，直線と放物線は常に 2 点で交わる．① の 2 解を $\alpha<\beta$ とすると \[ \beta-\alpha=\sqrt{(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta}=\sqrt{m^2-4m+8} \] \[ S(m)=\int_\alpha^\beta\{(mx-m+2)-x^2\}\,dx=\frac{(\beta-\alpha)^3}{6}=\frac{(m^2-4m+8)^{\frac{3}{2}}}{6} \] $m^2-4m+8=(m-2)^2+4$ は $m=2$ で最小値 $4$ をとるから，$S(m)$ の最小値は $\dfrac{4^{\frac{3}{2}}}{6}=\dfrac{4}{3}$（$m=2$）