放物線とx軸で囲まれた部分を直線で2等分する（A）

放物線と $x$ 軸で囲まれた部分の面積は $\dfrac{(2-0)^3}{6}=\dfrac{4}{3}$． 放物線と直線 $y=mx$ の交点の $x$ 座標は，$x^2-2x=mx$ すなわち $x\{x-(2+m)\}=0$ より $x=0,\ 2+m$ 直線が囲まれた部分を 2 つに分けるのは，原点以外の交点が $0<x<2$ の範囲にあるときであるから $0<2+m<2$ すなわち $-2<m<0$ このとき，$0\leqq x\leqq 2+m$ で直線は放物線の上側にあるから，直線と放物線で囲まれた部分の面積は \[ \int_0^{2+m}\{mx-(x^2-2x)\}\,dx=-\int_0^{2+m}x\{x-(2+m)\}\,dx=\frac{(2+m)^3}{6} \] これが全体の半分 $\dfrac{2}{3}$ に等しいから $(2+m)^3=4$，$2+m=\sqrt[3]{4}$． よって $m=\sqrt[3]{4}-2$（$-2<m<0$ を満たす．下図）