放物線と円で囲まれた部分の面積（B）

$x^2=y$ を円の式に代入して $y+(y-1)^2=1$，$y^2-y=0$ より $y=0,\ 1$．交点は $(0,\ 0)$，$(\pm 1,\ 1)$． 円の中心は $(0,\ 1)$，半径 $1$ で，点 $(\pm 1,\ 1)$ は円の左右の端である．$-1\leqq x\leqq 1$ において，放物線は円の下半分より上にあるから，求める部分は放物線（下側）と円の上半分（上側）にはさまれた部分である（下図）． この部分の面積は，「円の上半分の半円 $\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$」と「直線 $y=1$ と放物線で囲まれた部分」の和である．後者は \[ \int_{-1}^{1}(1-x^2)\,dx=\frac{4}{3} \] よって $S=\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{4}{3}$