放物線と円で囲まれた部分の面積（A）

$x^2=y$ を円の式に代入して $y+y^2=2$，$(y+2)(y-1)=0$．$y=x^2\geqq 0$ より $y=1$，交点は A$(1,\ 1)$，B$(-1,\ 1)$． 求める面積は「円弧 AB の下で $x$ 軸より上の部分（$-1\leqq x\leqq 1$）」から「放物線の下の部分」を引いたものである（下図）． 前者は，扇形 OAB（中心角 $\dfrac{\pi}{2}$，半径 $\sqrt{2}$）と，2 つの直角三角形（O，$(\pm 1,\ 0)$，$(\pm 1,\ 1)$）を合わせたもので \[ \frac{1}{2}(\sqrt{2})^2\cdot\frac{\pi}{2}+2\cdot\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 1=\frac{\pi}{2}+1 \] 後者は $\displaystyle\int_{-1}^{1}x^2\,dx=\frac{2}{3}$．よって \[ S=\frac{\pi}{2}+1-\frac{2}{3}=\frac{\pi}{2}+\frac{1}{3} \]