4次曲線と2点で接する直線で囲まれた面積（B）

\[ x^4-4x^3+2x^2+3x-(-x-1)=x^4-4x^3+2x^2+4x+1=(x^2-2x-1)^2\geqq 0 \] であるから，曲線は直線の上側にあり，$x^2-2x-1=0$ の解 $x=1\pm\sqrt{2}$ で接する．よって \[ S=\int_{1-\sqrt{2}}^{1+\sqrt{2}}(x^2-2x-1)^2\,dx \] ここで，$x^2-2x-1=(x-1)^2-2$ であるから，曲線 $y=(x^2-2x-1)^2$ を $x$ 軸方向に $-1$ だけ平行移動すると曲線 $y=(x^2-2)^2$ となり，区間 $1-\sqrt{2}\leqq x\leqq 1+\sqrt{2}$ は区間 $-\sqrt{2}\leqq x\leqq\sqrt{2}$ に移る．平行移動しても面積は変わらないから \[ S=\int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}(x^2-2)^2\,dx=2\int_0^{\sqrt{2}}(x^4-4x^2+4)\,dx \] \[ =2\left[\frac{x^5}{5}-\frac{4x^3}{3}+4x\right]_0^{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\left(\frac{4}{5}-\frac{8}{3}+4\right)=2\sqrt{2}\cdot\frac{32}{15}=\frac{64\sqrt{2}}{15} \]