4次曲線と2点で接する直線で囲まれた面積（A）
★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/24
🔁 類題: 4次曲線と2点で接する直線で囲まれた面積（B） （★★★☆☆☆☆（共通テスト））
問題
曲線 $y=x^4-2x^2+x$ と，この曲線に異なる 2 点で接する直線 $y=x-1$ で囲まれた部分の面積を求めよ．
$x^4-2x^2+x-(x-1)=x^4-2x^2+1=(x^2-1)^2=(x+1)^2(x-1)^2\geqq 0$
であるから，曲線は直線の上側にあり，$x=\pm 1$ で接する（下図）．
\[ S=\int_{-1}^{1}(x^2-1)^2\,dx=2\int_0^1(x^4-2x^2+1)\,dx=2\left(\frac{1}{5}-\frac{2}{3}+1\right)=\frac{16}{15} \]
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