3次曲線とその接線で囲まれた部分（A）

$y'=3x^2$ より $\ell:\ y=3x-2$．$x^3-(3x-2)=x^3-3x+2=(x-1)^2(x+2)$ であるから，曲線と $\ell$ は $x=1$ で接し，$x=-2$ で交わる．$-2\leqq x\leqq 1$ で $x^3\geqq 3x-2$（下図）． \[ S=\int_{-2}^{1}(x^3-3x+2)\,dx=\left[\frac{x^4}{4}-\frac{3}{2}x^2+2x\right]_{-2}^{1}=\left(\frac{1}{4}-\frac{3}{2}+2\right)-(4-6-4)=\frac{27}{4} \] （公式 $\displaystyle\int_\alpha^\beta(x-\alpha)(x-\beta)^2\,dx=\frac{(\beta-\alpha)^4}{12}$ を用いると $\dfrac{3^4}{12}=\dfrac{27}{4}$）