2放物線とその共通接線で囲まれた部分（B）

$y=x^2$ 上の点 $(t,\ t^2)$ における接線 $y=2tx-t^2$ が $y=x^2-6x+15$ に接する条件は，$x^2-(6+2t)x+15+t^2=0$ が重解をもつことである．この 2 次方程式の判別式を $D$ とすると \[ \frac{D}{4}=(3+t)^2-(15+t^2)=6t-6 \] $D=0$ より $t=1$ $\ell:\ y=2x-1$．$y=x^2$ との接点の $x$ 座標は $1$，$y=x^2-6x+15$ との接点の $x$ 座標は $4$． 2 つの放物線の交点は $x^2=x^2-6x+15$ より $x=\dfrac{5}{2}$．放物線と $\ell$ の差は $(x-1)^2$，$(x-4)^2$ であるから \[ S=\int_1^{\frac{5}{2}}(x-1)^2\,dx+\int_{\frac{5}{2}}^4(x-4)^2\,dx=\frac{1}{3}\left(\frac{3}{2}\right)^3\times 2=\frac{9}{4} \]