2放物線とその共通接線で囲まれた部分（A）

$y=x^2$ 上の点 $(t,\ t^2)$ における接線 $y=2tx-t^2$ が $y=(x-4)^2$ に接する条件は，$x^2-(8+2t)x+16+t^2=0$ が重解をもつことである．この 2 次方程式の判別式を $D$ とすると \[ \frac{D}{4}=(4+t)^2-(16+t^2)=8t \] $D=0$ より $t=0$ 共通接線は $y=0$（$x$ 軸）で，接点は $(0,\ 0)$，$(4,\ 0)$． 2 つの放物線の交点は $x^2=(x-4)^2$ より $x=2$．よって（下図） \[ S=\int_0^2 x^2\,dx+\int_2^4(x-4)^2\,dx=\frac{8}{3}+\frac{8}{3}=\frac{16}{3} \]