放物線と2接線で囲まれた部分（B）

接点の $x$ 座標を $t$ とすると，$y'=2x-4$ より接線は \[ y=(2t-4)(x-t)+t^2-4t+5=(2t-4)x-t^2+5 \] 点 $(2,\ -1)$ を通るから $-1=4t-8-t^2+5$，すなわち $t^2-4t+2=0$ で $t=2\pm\sqrt{2}$．$\alpha=2-\sqrt{2}$，$\beta=2+\sqrt{2}$ とする． 2 本の接線はともに点 $(2,\ -1)$ を通るから，その交点の $x$ 座標は $2$ である． 接点の $x$ 座標が $\alpha$ である接線の方程式は $y=(2\alpha-4)x-\alpha^2+5$ であるから \[ (x^2-4x+5)-\{(2\alpha-4)x-\alpha^2+5\}=x^2-2\alpha x+\alpha^2=(x-\alpha)^2\geqq 0 \] 接点の $x$ 座標が $\beta$ である接線についても，$\alpha$ を $\beta$ に置き換えて，差は $(x-\beta)^2\geqq 0$ である． よって，放物線は 2 本の接線の上側にあるから（下図） \[ S=\int_\alpha^2(x-\alpha)^2\,dx+\int_2^\beta(x-\beta)^2\,dx=\frac{(2-\alpha)^3}{3}+\frac{(\beta-2)^3}{3}=2\cdot\frac{(\sqrt{2})^3}{3}=\frac{4\sqrt{2}}{3} \]