放物線と2接線で囲まれた部分（A）

$y'=2x$ より $\ell_1:\ y=-2x-1$，$\ell_2:\ y=6x-9$．$\ell_1$ と $\ell_2$ の交点は $-2x-1=6x-9$ より $x=1$（2 接点の $x$ 座標の中点）． 放物線と接線の差は，$x^2-(-2x-1)=(x+1)^2$，$x^2-(6x-9)=(x-3)^2$ であるから（下図） \[ S=\int_{-1}^{1}(x+1)^2\,dx+\int_1^3(x-3)^2\,dx=\left[\frac{(x+1)^3}{3}\right]_{-1}^{1}+\left[\frac{(x-3)^3}{3}\right]_1^3=\frac{8}{3}+\frac{8}{3}=\frac{16}{3} \]