放物線と直線・放物線どうしで囲まれた面積（A）

$\alpha\leqq x\leqq\beta$ で $f(x)\geqq g(x)$ のとき，2 曲線の間の面積は $\displaystyle\int_\alpha^\beta\{f(x)-g(x)\}\,dx$ である． (1) $x^2=x+2$ より $x=-1,\ 2$．$-1\leqq x\leqq 2$ で $x+2\geqq x^2$ であるから \[ S=\int_{-1}^{2}(x+2-x^2)\,dx=-\int_{-1}^{2}(x+1)(x-2)\,dx=\frac{3^3}{6}=\frac{9}{2} \] (2) $x^2-2x=-x^2+4$ より $x^2-x-2=0$，$x=-1,\ 2$．$-1\leqq x\leqq 2$ で $-x^2+4\geqq x^2-2x$ であるから \[ S=\int_{-1}^{2}\{(-x^2+4)-(x^2-2x)\}\,dx=-2\int_{-1}^{2}(x+1)(x-2)\,dx=2\cdot\frac{27}{6}=9 \] （下図）