放物線とx軸で囲まれた面積（B）
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/24
🔁 類題: 放物線とx軸で囲まれた面積（A） （★☆☆☆☆☆☆（教科書））
問題
\begin{enumerate}
\item[(1)] 放物線 $y=x^2-4x+3$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積を求めよ．
\item[(2)] 放物線 $y=x^2-1$ と $x$ 軸，$y$ 軸および直線 $x=2$ で囲まれた 2 つの部分の面積の和を求めよ．
\end{enumerate}
(1) $x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$．$1\leqq x\leqq 3$ で $y\leqq 0$ であるから
\[ S=-\int_1^3(x-1)(x-3)\,dx=\frac{(3-1)^3}{6}=\frac{4}{3} \]
(2) $0\leqq x\leqq 1$ で $y\leqq 0$，$1\leqq x\leqq 2$ で $y\geqq 0$ であるから（下図）
\[ S=\int_0^1(1-x^2)\,dx+\int_1^2(x^2-1)\,dx=\left[x-\frac{x^3}{3}\right]_0^1+\left[\frac{x^3}{3}-x\right]_1^2=\frac{2}{3}+\frac{4}{3}=2 \]
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