定積分を定数とおいて関数を決める（B）

右辺の積分は \[ \int_0^1(x+t)f(t)\,dt=x\int_0^1 f(t)\,dt+\int_0^1 tf(t)\,dt \] と分けられる（$x$ は積分変数 $t$ と無関係なので外に出せる）．$A=\displaystyle\int_0^1 f(t)\,dt$，$B=\displaystyle\int_0^1 tf(t)\,dt$（定数）とおくと \[ f(x)=(2+A)x+B \] \[ A=\int_0^1\{(2+A)t+B\}\,dt=\frac{2+A}{2}+B,\qquad B=\int_0^1\{(2+A)t^2+Bt\}\,dt=\frac{2+A}{3}+\frac{B}{2} \] 第 2 式より $B=\dfrac{2(2+A)}{3}$．第 1 式に代入して $A=1+\dfrac{A}{2}+\dfrac{4+2A}{3}$，$6A=6+3A+8+4A$ より $A=-14$，$B=-8$． よって $f(x)=-12x-8$