偶関数・奇関数を使った定積分（A）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/24
🔁 類題: 偶関数・奇関数を使った定積分（B） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
次の定積分を求めよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $\displaystyle\int_{-2}^{2}(x^3+3x^2-2x+1)\,dx$
\item[(2)] $\displaystyle\int_{-1}^{1}(x^5-4x^3+6x^2+x)\,dx$
\end{enumerate}
$\displaystyle\int_{-a}^{a}x^n\,dx$ は，$n$ が奇数のとき $0$，$n$ が偶数のとき $2\displaystyle\int_0^a x^n\,dx$ である（下図）．
(1) 奇数次の項 $x^3$，$-2x$ は消えて
\[ (\text{与式})=2\int_0^2(3x^2+1)\,dx=2\Bigl[x^3+x\Bigr]_0^2=2\cdot 10=20 \]
(2) 奇数次の項 $x^5$，$-4x^3$，$x$ は消えて
\[ (\text{与式})=2\int_0^1 6x^2\,dx=2\Bigl[2x^3\Bigr]_0^1=4 \]
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