3本の接線が引ける点の存在範囲（B）

曲線上の点 $(t,\ t^3)$ における接線は $y=3t^2x-2t^3$．これが P を通るから \[ 2t^3-3pt^2+q=0\quad\cdots\text{①} \] 3 次関数のグラフでは，接点が異なれば接線も異なるから，3 本の接線が引ける条件は，① が異なる 3 つの実数解をもつことである．$g(t)=2t^3-3pt^2+q$ とおくと $g'(t)=6t(t-p)$ で，条件は \[ p\neq 0,\qquad g(0)\,g(p)=q(q-p^3)<0 \] （$p=0$ のとき $q\cdot q\geqq 0$ となるので，この不等式は $p\neq 0$ を含む．） $p>0$ のとき $0<q<p^3$，$p<0$ のとき $p^3<q<0$． よって，求める範囲は $x$ 軸と曲線 $y=x^3$ にはさまれた部分（境界を含まない）で，下図の網目部分である．