3本の接線が引ける点の存在範囲（A）

曲線上の点 $(t,\ t^3-t)$ における接線は $y=(3t^2-1)x-2t^3$．これが P を通るから \[ 2t^3-3pt^2+p+q=0\quad\cdots\text{①} \] 3 次関数のグラフでは，接点が異なれば接線も異なるから，3 本の接線が引ける条件は，① が異なる 3 つの実数解をもつことである．$g(t)=2t^3-3pt^2+p+q$ とおくと $g'(t)=6t(t-p)$． $g(t)$ が極値をもち（$p\neq 0$），極大値と極小値が異符号であればよいから \[ p\neq 0,\qquad g(0)\,g(p)<0 \quad\text{すなわち}\quad (p+q)(-p^3+p+q)<0 \] （$p=0$ のとき $g(0)g(p)=q^2\geqq 0$ となるので，この不等式は $p\neq 0$ を含んでいる．） よって \[ (q+p)\{q-(p^3-p)\}<0 \] 求める範囲は，直線 $y=-x$ と曲線 $y=x^3-x$ にはさまれた部分（境界を含まない）で，下図の網目部分である．