点から3次関数のグラフに3本の接線が引ける条件（B）

曲線上の点 $(t,\ t^3-3t^2)$ における接線は，$y'=3x^2-6x$ より \[ y=(3t^2-6t)(x-t)+t^3-3t^2 \quad\text{すなわち}\quad y=(3t^2-6t)x-2t^3+3t^2 \] 点 A$(0,\ a)$ を通るから \[ a=-2t^3+3t^2\quad\cdots\text{①} \] 接点が異なれば接線も異なるから，① が異なる 3 つの実数解をもつ条件を求める． $h(t)=-2t^3+3t^2$ とおくと $h'(t)=-6t(t-1)$ で，極小値 $h(0)=0$，極大値 $h(1)=1$．① の異なる実数解の個数は，曲線 $y=h(t)$ と直線 $y=a$ の共有点の個数に一致するから，求める条件は \[ 0<a<1 \]