点から3次関数のグラフに3本の接線が引ける条件（A）

曲線上の点 $(t,\ t^3-3t)$ における接線は，$y'=3x^2-3$ より \[ y=(3t^2-3)(x-t)+t^3-3t \quad\text{すなわち}\quad y=(3t^2-3)x-2t^3 \] これが点 A$(2,\ a)$ を通るから $a=6t^2-6-2t^3$，すなわち \[ 2t^3-6t^2+6=-a\quad\cdots\text{①} \] 3 次関数のグラフでは，接点が異なれば接線も異なるから，3 本の接線が引ける条件は，$t$ の方程式 ① が異なる 3 つの実数解をもつことである． $g(t)=2t^3-6t^2+6$ とおくと $g'(t)=6t(t-2)$ で，極大値 $g(0)=6$，極小値 $g(2)=-2$．曲線 $y=g(t)$ と直線 $y=-a$ が 3 点で交わる条件は \[ -2<-a<6 \quad\text{すなわち}\quad -6<a<2 \]