4次曲線に2点で接する直線（B）

求める直線を $y=mx+n$，接点の $x$ 座標を $\alpha,\ \beta\ (\alpha\neq\beta)$ とする．直線が曲線に $x=\alpha,\ \beta$ の点で接するとき，$x$ の 4 次方程式 $x^4-4x^3+2x^2+3x-(mx+n)=0$ は $x=\alpha,\ \beta$ をそれぞれ重解にもつ．左辺の $x^4$ の係数は 1 であるから，$s=\alpha+\beta$，$p=\alpha\beta$ とおくと，次の式は $x$ の恒等式となる． \[ x^4-4x^3+2x^2+(3-m)x-n=(x^2-sx+p)^2 \] 右辺を展開して係数を比較すると \[ -4=-2s,\quad 2=s^2+2p,\quad 3-m=-2sp,\quad -n=p^2 \] $s=2$，$p=-1$ より $m=3+2sp=-1$，$n=-1$． $\alpha,\ \beta$ は $x^2-2x-1=0$ の解で $x=1\pm\sqrt{2}$（異なる 2 つの実数で適する）． よって，直線は $y=-x-1$，接点の $x$ 座標は $1\pm\sqrt{2}$