4次曲線に2点で接する直線（A）

求める直線を $y=mx+n$，接点の $x$ 座標を $\alpha,\ \beta\ (\alpha\neq\beta)$ とする．直線が曲線に $x=\alpha,\ \beta$ の点で接するとき，$x$ の 4 次方程式 $x^4-2x^2+x-(mx+n)=0$ は $x=\alpha,\ \beta$ をそれぞれ重解にもつ．左辺の $x^4$ の係数は 1 であるから， \[ x^4-2x^2+x-(mx+n)=(x-\alpha)^2(x-\beta)^2 \] が $x$ の恒等式となる．$s=\alpha+\beta$，$p=\alpha\beta$ とおくと，右辺は $(x^2-sx+p)^2=x^4-2sx^3+(s^2+2p)x^2-2spx+p^2$．係数を比較して \[ 0=-2s,\quad -2=s^2+2p,\quad 1-m=-2sp,\quad -n=p^2 \] よって $s=0$，$p=-1$，$m=1$，$n=-1$．$\alpha,\ \beta$ は $x^2-1=0$ の解で，$\pm 1$（異なる 2 つの実数で適する）． 直線 $y=x-1$，接点 $(1,\ 0)$，$(-1,\ -2)$（下図）