x+y+z, x²+y²+z² が一定のときの xyz の範囲（B）

$xy+yz+zx=\dfrac{9-9}{2}=0$．$xyz=k$ とおくと \[ (t-x)(t-y)(t-z)=t^3-(x+y+z)t^2+(xy+yz+zx)t-xyz=t^3-3t^2-k \] であるから，$x,\ y,\ z$ は \[ t^3-3t^2-k=0 \quad\text{すなわち}\quad t^3-3t^2=k \] の 3 つの解である．これが 3 つの実数解（重解を含む）をもつ条件を考える． $g(t)=t^3-3t^2$ とおくと $g'(t)=3t(t-2)$ で，$g(t)$ は $t=0$ で極大値 $0$，$t=2$ で極小値 $-4$ をとる．方程式 $g(t)=k$ の実数解は，曲線 $Y=g(t)$ と直線 $Y=k$ の共有点の $t$ 座標であるから，（重複も数えて）3 個の共有点をもつ条件を考えて $-4\leqq k\leqq 0$． $k=0$ のとき $t^2(t-3)=0$ で，$0,\ 0,\ 3$ の並べかえ． $k=-4$ のとき $t^3-3t^2+4=(t-2)^2(t+1)=0$ で，$2,\ 2,\ -1$ の並べかえ． よって，最大値 $0$，最小値 $-4$