x+y+z, x²+y²+z² が一定のときの xyz の範囲（A）

$xy+yz+zx=\dfrac{(x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2)}{2}=-3$．$xyz=k$ とおくと \[ (t-x)(t-y)(t-z)=t^3-(x+y+z)t^2+(xy+yz+zx)t-xyz=t^3-3t-k \] であるから，$x,\ y,\ z$ は $t$ の 3 次方程式 \[ t^3-3t-k=0 \quad\text{すなわち}\quad t^3-3t=k \] の 3 つの解（重解を含む）である．$x,\ y,\ z$ が実数であるための条件は，この方程式が実数解のみをもつこと，すなわち，$g(t)=t^3-3t$ とおくと，$tY$ 平面上の曲線 $Y=g(t)$ と直線 $Y=k$ が（重複も数えて）3 個の共有点をもつことである． $g'(t)=3t^2-3=3(t+1)(t-1)$ より，$g(t)$ は $t=-1$ で極大値 $2$，$t=1$ で極小値 $-2$ をとるから，条件は $-2\leqq k\leqq 2$． $k=2$ のとき $t^3-3t-2=(t+1)^2(t-2)=0$ で，$(x,\ y,\ z)$ は $-1,\ -1,\ 2$ の並べかえ． $k=-2$ のとき $t^3-3t+2=(t-1)^2(t+2)=0$ で，$1,\ 1,\ -2$ の並べかえ． よって，最大値 $2$，最小値 $-2$