差の関数を微分して不等式を証明する（A）

$f(x)=x^3-3x^2+4$ とおくと $f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$．$x\geqq 0$ における増減表は \[ \begin{array}{c|ccccc} x & 0 & \cdots & 2 & \cdots \\ \hline f'(x) & 0 & - & 0 & + \\ \hline f(x) & 4 & \searrow & 0 & \nearrow \end{array} \] よって，$x\geqq 0$ において $f(x)$ の最小値は $f(2)=0$ であるから $f(x)\geqq 0$，すなわち $x^3+4\geqq 3x^2$． 等号が成り立つのは $x=2$ のとき． \hfill 〔証明終〕