グラフで3次方程式の実数解の個数を調べる（B）

方程式 $f(x)=0$ の異なる実数解の個数は，$y=f(x)$ のグラフと $x$ 軸の共有点の個数に一致する． (1) $f(x)=x^3+3x^2-2$ とおくと $f'(x)=3x(x+2)$．$f(x)$ の増減表は次のようになる． \[ \begin{array}{c|ccccc} x & \cdots & -2 & \cdots & 0 & \cdots \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \nearrow & 2 & \searrow & -2 & \nearrow \end{array} \] 極大値 $f(-2)=2>0$，極小値 $f(0)=-2<0$ で，極大値と極小値が異符号であるから，グラフは $x$ 軸と 3 点で交わる．よって 3 個 (2) $f(x)=2x^3-3x^2+4$ とおくと $f'(x)=6x(x-1)$．$f(x)$ の増減表は次のようになる． \[ \begin{array}{c|ccccc} x & \cdots & 0 & \cdots & 1 & \cdots \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \nearrow & 4 & \searrow & 3 & \nearrow \end{array} \] 極大値 $f(0)=4$，極小値 $f(1)=3$ で，ともに正である．よって，$x\geqq 0$ では $f(x)\geqq 3>0$ で，グラフは $x$ 軸と交わらない．$x<0$ では $f(x)$ は増加し，$f(0)=4>0$ であるから，グラフは $x<0$ の範囲で $x$ 軸とただ 1 点で交わる．よって 1 個