グラフで3次方程式の実数解の個数を調べる（A）

それぞれの方程式の左辺を $f(x)$ とおく．方程式 $f(x)=0$ の異なる実数解の個数は，$y=f(x)$ のグラフと $x$ 軸の共有点の個数に一致する． (1) $f(x)=x^3-3x+1$ とおくと $f'(x)=3(x+1)(x-1)$．$f(x)$ の増減表は次のようになる． \[ \begin{array}{c|ccccc} x & \cdots & -1 & \cdots & 1 & \cdots \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \nearrow & 3 & \searrow & -1 & \nearrow \end{array} \] 極大値 $f(-1)=3>0$，極小値 $f(1)=-1<0$． 極大値と極小値が異符号であるから，グラフは $x$ 軸と 3 点で交わる．よって 3 個 (2) $f(x)=x^3-3x^2+4$ とおくと $f'(x)=3x(x-2)$．$f(x)$ の増減表は次のようになる． \[ \begin{array}{c|ccccc} x & \cdots & 0 & \cdots & 2 & \cdots \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \nearrow & 4 & \searrow & 0 & \nearrow \end{array} \] 極大値 $f(0)=4>0$，極小値 $f(2)=0$． グラフは $x=2$ で $x$ 軸に接し，もう 1 点で交わる．よって 2 個（実際 $f(x)=(x+1)(x-2)^2$）