sinθ=t とおいた3次関数の最大・最小（B）

$\cos 2\theta=1-2\sin^2\theta$ であるから，$t=\sin\theta$ とおくと $-1\leqq t\leqq 1$ で \[ y=t(1-2t^2)=t-2t^3 \] $\dfrac{dy}{dt}=1-6t^2$ より，$t=\pm\dfrac{1}{\sqrt{6}}$ で極値をとる． \[ \begin{array}{c|ccccccc} t & -1 & \cdots & -\frac{1}{\sqrt{6}} & \cdots & \frac{1}{\sqrt{6}} & \cdots & 1 \\ \hline y' & & - & 0 & + & 0 & - & \\ \hline y & 1 & \searrow & -\frac{\sqrt{6}}{9} & \nearrow & \frac{\sqrt{6}}{9} & \searrow & -1 \end{array} \] （$t=\dfrac{1}{\sqrt{6}}$ のとき $y=\dfrac{1}{\sqrt{6}}\left(1-\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{2}{3\sqrt{6}}=\dfrac{\sqrt{6}}{9}$） $\dfrac{\sqrt{6}}{9}<1$ であるから，最大値は $t=-1$ のとき $1$，最小値は $t=1$ のとき $-1$． よって，$\theta=\dfrac{3}{2}\pi$ で最大値 $1$，$\theta=\dfrac{\pi}{2}$ で最小値 $-1$