区間が動く3次関数の最大値（B）

$f'(x)=-3x^2+6x=-3x(x-2)$．$x\geqq 0$ において，$f(x)$ は $0\leqq x\leqq 2$ で増加し，$x\geqq 2$ で減少する．$f(0)=0$，$f(2)=4$．また $f(x)=x^2(3-x)$ より，$f(x)=0$ となるのは $x=0,\ 3$（下図）． 最大値：$0<a\leqq 2$ のとき $M(a)=f(a)=-a^3+3a^2$；$a\geqq 2$ のとき $M(a)=f(2)=4$ 最小値：$0\leqq x\leqq a$ において，$f(x)$ は増加するか，増加したあと減少するから，最小値は区間の両端の値 $f(0)=0$ と $f(a)$ の小さい方である．$0<a\leqq 3$ のとき $f(a)\geqq 0$ で $m(a)=0$；$a>3$ のとき $f(a)<0$ で $m(a)=-a^3+3a^2$