区間が動く3次関数の最大値（A）

$f'(x)=3(x+1)(x-1)$．$f(x)$ は $x=-1$ で極大値 $2$，$x=1$ で極小値 $-2$ をとる． (i) $a+1\leqq -1$，すなわち $a\leqq -2$ のとき：区間で $f(x)$ は増加するから \[ M(a)=f(a+1)=(a+1)^3-3(a+1)=a^3+3a^2-2 \] (ii) $a<-1<a+1$，すなわち $-2<a<-1$ のとき：区間内に極大点 $x=-1$ があり，$M(a)=f(-1)=2$ (iii) $a\geqq -1$ のとき：区間は極大点の右側にあり，$f(x)$ は減少のあと増加する（または減少のみ・増加のみ）から，最大値は両端の値 $f(a)$，$f(a+1)$ の大きい方である． \[ f(a+1)-f(a)=3a^2+3a+1-3=3a^2+3a-2 \] $3a^2+3a-2=0$ の解は $a=\dfrac{-3\pm\sqrt{33}}{6}$ で，$a\geqq -1$ の範囲にあるのは $a=\dfrac{-3+\sqrt{33}}{6}$（$\fallingdotseq 0.46$）． \quad $-1\leqq a\leqq\dfrac{-3+\sqrt{33}}{6}$ のとき $f(a)\geqq f(a+1)$ で，$M(a)=a^3-3a$ \quad $a\geqq\dfrac{-3+\sqrt{33}}{6}$ のとき $f(a+1)\geqq f(a)$ で，$M(a)=a^3+3a^2-2$ 以上から \[ M(a)=\begin{cases} a^3+3a^2-2 & (a\leqq -2) \\ 2 & (-2<a<-1) \\ a^3-3a & \left(-1\leqq a\leqq\dfrac{-3+\sqrt{33}}{6}\right) \\ a^3+3a^2-2 & \left(\dfrac{-3+\sqrt{33}}{6}\leqq a\right) \end{cases} \] （下図は区間の位置とグラフの関係）