文字係数の3次関数の最小値（場合分け）（B）

$f'(x)=3x^2-6ax=3x(x-2a)$．$x\geqq 0$ では，$f(x)$ は $0\leqq x\leqq 2a$ で減少し，$x\geqq 2a$ で増加する． (i) $2a<2$，すなわち $0<a<1$ のとき：$x=2a$ で最小となり，最小値は $f(2a)=8a^3-12a^3=-4a^3$ (ii) $2a\geqq 2$，すなわち $a\geqq 1$ のとき：$0\leqq x\leqq 2$ で減少するから，最小値は $f(2)=8-12a$ 以上から，$f(x)$ の最小値は，$0<a<1$ のとき $x=2a$ で $-4a^3$，$a\geqq 1$ のとき $x=2$ で $8-12a$ である．