文字係数の3次関数の最小値（場合分け）（A）

$f'(x)=3x^2-3a^2=3(x+a)(x-a)$．$x\geqq 0$ では，$f(x)$ は $0\leqq x\leqq a$ で減少し，$x\geqq a$ で増加する． (i) $0<a<1$ のとき：区間内の $x=a$ で極小かつ最小となり，最小値は $f(a)=a^3-3a^3=-2a^3$ (ii) $a\geqq 1$ のとき：$0\leqq x\leqq 1$ で減少するから，最小値は $f(1)=1-3a^2$ （極小となる $x=a$ が区間の内部にあるかどうかで場合分けした．） 以上から，$f(x)$ の最小値は，$0<a<1$ のとき $x=a$ で $-2a^3$，$a\geqq 1$ のとき $x=1$ で $1-3a^2$ である．