立体の体積の最大値を微分で求める（B）

円柱の底面の半径を $r$，高さを $2h$ とすると，球の中心から底面までの距離が $h$ で，三平方の定理より $r^2+h^2=9$（$0<h<3$）（下図）．体積 $V$ は \[ V=\pi r^2\cdot 2h=2\pi(9-h^2)h=2\pi(9h-h^3) \] \[ V'=2\pi(9-3h^2)=-6\pi(h+\sqrt{3})(h-\sqrt{3}) \] $0<h<3$ において，$V$ は $h=\sqrt{3}$ で増加から減少に変わるから，最大値は \[ V=2\pi(9\sqrt{3}-3\sqrt{3})=12\sqrt{3}\pi \] このとき高さは $2h=2\sqrt{3}$