極大値をもたない4次関数の条件（B）

$f'(x)=12x^3-12(a+1)x^2+12ax=12x\{x^2-(a+1)x+a\}=12x(x-1)(x-a)$ $x^4$ の係数が正であるから，$f'(x)=0$ の解 $0,\ 1,\ a$ がすべて異なると，$f'(x)$ の符号は $-,\ +,\ -,\ +$ と変わり，極大値をもつ． よって，極大値をもたないのは，3 つの解のうち 2 つが一致するとき，すなわち $a=0$ または $a=1$ のときである． $a=0$ のとき $f'(x)=12x^2(x-1)$ で，符号は $x=1$ の前後でのみ変わる（$-$ から $+$）． $a=1$ のとき $f'(x)=12x(x-1)^2$ で，符号は $x=0$ の前後でのみ変わる（$-$ から $+$）． いずれも極小値のみをもち，極大値をもたない．よって $a=0,\ 1$