極大値をもたない4次関数の条件（A）

$f'(x)=4x^3-12x^2+4ax=4x(x^2-3x+a)$．$g(x)=x^2-3x+a$ とおく． $x^4$ の係数が正であるから，$f'(x)=0$ が異なる 3 つの実数解をもつと，$f'(x)$ の符号は $-,\ +,\ -,\ +$ と変わり，真ん中の解で極大値をもつ．よって，極大値をもたないのは，$f'(x)=0$ が異なる 3 つの実数解をもたないときである． (i) $g(x)=0$ が実数解をもたないか重解をもつとき：判別式 $9-4a\leqq 0$ より $a\geqq\dfrac{9}{4}$．このとき $g(x)\geqq 0$ で，$f'(x)$ の符号は $x=0$ の前後で $-$ から $+$ に変わるだけであり，極大値をもたない． (ii) $g(x)=0$ が $x=0$ を解にもつとき：$a=0$．このとき $f'(x)=4x^2(x-3)$ で，符号は $x=3$ の前後でのみ $-$ から $+$ に変わるから，極大値をもたない． (iii) それ以外（$a<\dfrac{9}{4}$ かつ $a\neq 0$）のときは，$f'(x)=0$ は $0$ と $g(x)=0$ の異なる 2 解の計 3 つの異なる実数解をもち，極大値をもつ． よって $a=0,\ a\geqq\dfrac{9}{4}$