極大値と極小値の差が与えられる条件（B）

$f'(x)=3(x^2+2x+a)$．極値をもつ条件は，2 次方程式 $x^2+2x+a=0$ が異なる 2 つの実数解をもつことであるから，その判別式を $D$ とすると $\dfrac{D}{4}=1-a>0$ より $a<1$． $x^2+2x+a=0$ の 2 解を $\alpha,\ \beta\ (\alpha<\beta)$ とすると，$\alpha+\beta=-2$，$\alpha\beta=a$ で，$f'(x)=3(x-\alpha)(x-\beta)$ の符号は $x=\alpha$ の前後で正から負に，$x=\beta$ の前後で負から正に変わるから，$x=\alpha$ で極大，$x=\beta$ で極小となる．$\beta-\alpha=\sqrt{(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta}=2\sqrt{1-a}$． \[ f(\alpha)-f(\beta)=(\alpha^3-\beta^3)+3(\alpha^2-\beta^2)+3a(\alpha-\beta) \] \[ =(\alpha-\beta)\{(\alpha^2+\alpha\beta+\beta^2)+3(\alpha+\beta)+3a\} \] $\alpha^2+\alpha\beta+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-\alpha\beta=4-a$ であるから，かっこ内は $4-a-6+3a=2(a-1)$．よって \[ f(\alpha)-f(\beta)=-2\sqrt{1-a}\cdot 2(a-1)=4(1-a)\sqrt{1-a} \] $4(1-a)^{\frac{3}{2}}=32$ より $(1-a)^{\frac{3}{2}}=8$，$1-a=4$．よって $a=-3$（$a<1$ を満たす）． （確認：$f(x)=x^3+3x^2-9x+2$ の極大値は $f(-3)=29$，極小値は $f(1)=-3$ で，差は $32$）