極大値と極小値の差が与えられる条件（A）

$f'(x)=3x^2-3a=3(x+\sqrt{a})(x-\sqrt{a})$．$a>0$ であるから $-\sqrt{a}<\sqrt{a}$ で，$f'(x)$ の符号は $x=-\sqrt{a}$ の前後で正から負に，$x=\sqrt{a}$ の前後で負から正に変わる．よって，$x=-\sqrt{a}$ で極大，$x=\sqrt{a}$ で極小となる． \[ f(-\sqrt{a})=-a\sqrt{a}+3a\sqrt{a}=2a\sqrt{a},\qquad f(\sqrt{a})=-2a\sqrt{a} \] 差は $4a\sqrt{a}=32$ より $a\sqrt{a}=8$，すなわち $a^{\frac{3}{2}}=8$．よって $a=8^{\frac{2}{3}}=4$