極大値と極小値の和が与えられる条件（A）

$f'(x)=3x^2-6x+a$．極値をもつ条件は，2 次方程式 $f'(x)=0$ が異なる 2 つの実数解をもつことであるから，その判別式を $D$ とすると $\dfrac{D}{4}=9-3a>0$ より $a<3$ ……① $f'(x)=0$ の 2 解を $\alpha,\ \beta$ とすると，解と係数の関係より $\alpha+\beta=2$，$\alpha\beta=\dfrac{a}{3}$． \[ f(\alpha)+f(\beta)=(\alpha^3+\beta^3)-3(\alpha^2+\beta^2)+a(\alpha+\beta)+2 \] $\alpha^2+\beta^2=4-\dfrac{2a}{3}$，$\alpha^3+\beta^3=8-3\cdot\dfrac{a}{3}\cdot 2=8-2a$ であるから \[ f(\alpha)+f(\beta)=(8-2a)-3\left(4-\frac{2a}{3}\right)+2a+2=2a-2 \] $2a-2=0$ より $a=1$．これは ① を満たす． （別解：3 次関数のグラフは，極大点と極小点の中点（$x=\dfrac{\alpha+\beta}{2}=1$ の点）に関して対称であるから，$f(\alpha)+f(\beta)=2f(1)=2(a-1)$．）