3次関数のグラフが点対称であること（B）

(1) \[ f(2+t)=(2+t)^3-6(2+t)^2+9(2+t)+1=t^3-3t+3 \] よって $f(2+t)-3=t^3-3t$ で，これは $t$ の奇関数である．したがって $f(2-t)-3=-\{f(2+t)-3\}$，すなわち \[ \frac{f(2+t)+f(2-t)}{2}=3 \] が成り立ち，曲線上の点 $(2+t,\ f(2+t))$ と $(2-t,\ f(2-t))$ の中点は常に $(2,\ 3)$ である．よって曲線は点 $(2,\ 3)$ に関して対称である． \hfill 〔証明終〕 (2) $f'(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)$．$f'(x)=0$ とすると $x=1,\ 3$．増減表は次のようになる． \[ \begin{array}{c|ccccc} x & \cdots & 1 & \cdots & 3 & \cdots \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \nearrow & 5 & \searrow & 1 & \nearrow \end{array} \] よって，極大点は $(1,\ 5)$，極小点は $(3,\ 1)$ であり，これらを結ぶ線分の中点の座標は $(2,\ 3)$ である．