3次関数のグラフが点対称であること（A）

(1) \[ f(1+t)=(1+t)^3-3(1+t)^2+2=1+3t+3t^2+t^3-3-6t-3t^2+2=t^3-3t \] $g(t)=f(1+t)$ とおくと $g(-t)=-g(t)$ であるから，$f(1-t)=-f(1+t)$，すなわち $\dfrac{f(1+t)+f(1-t)}{2}=0$． よって，曲線上の点 $(1+t,\ f(1+t))$ と点 $(1-t,\ f(1-t))$ の中点は常に $(1,\ 0)$ であり，曲線は点 $(1,\ 0)$ に関して対称である． \hfill 〔証明終〕 (2) $f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$．$f'(x)=0$ とすると $x=0,\ 2$．増減表は次のようになる． \[ \begin{array}{c|ccccc} x & \cdots & 0 & \cdots & 2 & \cdots \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \nearrow & 2 & \searrow & -2 & \nearrow \end{array} \] よって，$x=0$ で極大値 $2$，$x=2$ で極小値 $-2$ をとる． 2 点 $(0,\ 2)$，$(2,\ -2)$ の中点は $(1,\ 0)$ である（下図）．