極値の条件から係数を決める（A）

$f'(x)=3x^2+2ax+b$．$x=-1,\ 3$ で極値をとるから $f'(-1)=0$，$f'(3)=0$． \[ 3-2a+b=0,\qquad 27+6a+b=0 \] これを解いて $a=-3,\ b=-9$．$f(-1)=-1-3+9+c=7$ より $c=2$． 逆に，このとき $f(x)=x^3-3x^2-9x+2$，$f'(x)=3(x+1)(x-3)$ であり，$f(x)$ の増減表は次のようになる． \[ \begin{array}{c|ccccc} x & \cdots & -1 & \cdots & 3 & \cdots \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \nearrow & 7 & \searrow & -25 & \nearrow \end{array} \] よって，$x=-1$ で極大値 $7$，$x=3$ で極小値をとり，条件を満たす． 極小値は $f(3)=27-27-27+2=-25$